Aljabar Linear Contoh

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}]$

Langkah 1

Temukan nilai eigennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik $p (λ)$ .

$p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$

Langkah 1.2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo $2$ adalah matriks persegi $2 \times 2$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 1.3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam $p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}]$ untuk $A$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] - λ I_{2})$

Langkah 1.3.2

Substitusikan $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ untuk $I_{2}$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Kalikan $- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.2

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.2.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.2.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.3

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.3.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.3.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 1.4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.2

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 & 4 - λ \end{array}]$

Langkah 1.5

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 - λ) - 3 \cdot 1$

Langkah 1.5.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.1

Perluas $(2 - λ) (4 - λ)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 2 (4 - λ) - λ (4 - λ) - 3 \cdot 1$

Langkah 1.5.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 2 \cdot 4 + 2 (- λ) - λ (4 - λ) - 3 \cdot 1$

Langkah 1.5.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 2 \cdot 4 + 2 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Langkah 1.5.2.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$p (λ) = 8 + 2 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Langkah 1.5.2.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$p (λ) = 8 - 2 λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Langkah 1.5.2.1.2.1.3

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = 8 - 2 λ - 4 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Langkah 1.5.2.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = 8 - 2 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 1$

Langkah 1.5.2.1.2.1.5

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.2.1.5.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = 8 - 2 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 1$

Langkah 1.5.2.1.2.1.5.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = 8 - 2 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 1$

Langkah 1.5.2.1.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = 8 - 2 λ - 4 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 1$

Langkah 1.5.2.1.2.1.7

Kalikan $λ^{2}$ dengan $1$ .

$p (λ) = 8 - 2 λ - 4 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1$

Langkah 1.5.2.1.2.2

Kurangi $4 λ$ dengan $- 2 λ$ .

$p (λ) = 8 - 6 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1$

Langkah 1.5.2.1.3

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$p (λ) = 8 - 6 λ + λ^{2} - 3$

Langkah 1.5.2.2

Kurangi $3$ dengan $8$ .

$p (λ) = - 6 λ + λ^{2} + 5$

Langkah 1.5.2.3

Susun kembali $- 6 λ$ dan $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 5$

Langkah 1.6

Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan $0$ untuk menemukan nilai eigen $λ$ .

$λ^{2} - 6 λ + 5 = 0$

Langkah 1.7

Selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Faktorkan $λ^{2} - 6 λ + 5$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $5$ dan jumlahnya $- 6$ .

$- 5, - 1$

Langkah 1.7.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(λ - 5) (λ - 1) = 0$

Langkah 1.7.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$λ - 5 = 0$

$λ - 1 = 0$

Langkah 1.7.3

Atur $λ - 5$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Atur $λ - 5$ sama dengan $0$ .

$λ - 5 = 0$

Langkah 1.7.3.2

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$λ = 5$

Langkah 1.7.4

Atur $λ - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Atur $λ - 1$ sama dengan $0$ .

$λ - 1 = 0$

Langkah 1.7.4.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$λ = 1$

Langkah 1.7.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(λ - 5) (λ - 1) = 0$ benar.

$λ = 5, 1$

Langkah 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Langkah 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

$N ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] - 5 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Kalikan $- 5$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.2.1

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.2

Kalikan $- 5$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.3

Kalikan $- 5$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 \\ 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.4

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 \\ 0 & - 5 \end{array}]$

Langkah 3.2.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$[\begin{array}{c} 2 - 5 & 1 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - 5 \end{array}]$

Langkah 3.2.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Kurangi $5$ dengan $2$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 1 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - 5 \end{array}]$

Langkah 3.2.3.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 1 \\ 3 + 0 & 4 - 5 \end{array}]$

Langkah 3.2.3.3

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 1 \\ 3 & 4 - 5 \end{array}]$

Langkah 3.2.3.4

Kurangi $5$ dengan $4$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 1 \\ 3 & - 1 \end{array}]$

Langkah 3.3

Find the null space when $λ = 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 1 & 0 \\ 3 & - 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 3 & - 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.1.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 \\ 3 & - 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 1 - 3 (- \frac{1}{3}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.2.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1}{3} y = 0$

$0 = 0$

Langkah 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{y}{3} \\ y \end{array}]$

Langkah 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ 1 \end{array}]$

Langkah 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Langkah 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ 1 \end{array}]}$

Langkah 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

$N ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangkan elemen yang seletak.

$[\begin{array}{c} 2 - 1 & 1 - 0 \\ 3 - 0 & 4 - 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.2

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - 0 \\ 3 - 0 & 4 - 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.2.2

Kurangi $0$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 3 - 0 & 4 - 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.2.3

Kurangi $0$ dengan $3$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 3 & 4 - 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.2.4

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 3 & 3 \end{array}]$

Langkah 4.3

Find the null space when $λ = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.1.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + y = 0$

$0 = 0$

Langkah 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - y \\ y \end{array}]$

Langkah 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]$

Langkah 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Langkah 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]}$

Langkah 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]}$